математические банальности

[yigal_s]

интересно, а множество прямых на плоскости образуют двумерное многообразие (мне видится, что да), и если да, то на что оно похоже, т.е. какова его глобальная топология?

Похоже, все прямые, не проходящие на начало координат, можно отобразить на точки проективной плоскости (координтаты которых определяются согласно точкам пересечения исходных прямых с осями ОX и OY исходной плоскости). Вернее, отображение будет в четыре квадранта проективной плоскости, не включая оси ОX и ОY проективной плоскости. Осталось только разобраться с этими осями и с тем, куда девать прямые, проходящие через начало координат, и, собственно, какова будет в результате глобальная топология. И тут я уже торможу.

UPD: Весь абзац, начиная с "Похоже", - бред.

Comments

[juan_gandhi]

Представить их как множество нормалей. Т.е. де факто имеем дело с пространством точек в полярной системе координат. Как топологию задаем, через метрику?

[yigal_s]

да как угодно. конечно, проще всего через метрику.

Насчет нормалей - не получится с нормалью к прямой, проходящей через начало координат. У этой нормали будет нулевая длина.

Но вот если прибавить к нормали один "сантиметр", то похож, всё получается? Т.е. получаем практически плоскость с выколотым кругом. При этом, граница круга нам всё-таки нужна.

Черт, как же я сам не сообразил насчет нормалей, я ж буквально месяца 2 назад во всём этом рылся.

[juan_gandhi]

Плоскость с выколотой точкой, это, топологически, цилиндр. Плоскость с выколотым кругом - то же самое. Если же выколоть открытый круг, то будет полцилиндра. R⁺×R.

[yigal_s]

хотя нет, ещё не решилось. Там выходит граница не окружность, а пол-окружности! Поскольку нормаль к прямой, проходящей церез центр координат можно провести в две стороны!

[yigal_s]

Всё, налажал я здесь грубейше. А вот в параллельном посте в ЖЖ posic подсказал правильный ответ. Причем, ваша идея остаётся в тему - прямую действительно надо представлять вектором нормали, проведенной из начала координат.

[juan_gandhi]

Каким это образом лента Мебиуса получится, интересно. Хотя... надо подумать еще.

[yigal_s]

мне удалось это понять )))

[juan_gandhi]

Окей... лента с открытым краем.

[yigal_s]

ну да.

[yigal_s]

Только вот не получаются в результате charts в виде открытых множеств в R^2. Именно из-за границы круга. Т.е. формально это не манифолд...

[posic.livejournal.com]

Множество всех прямых на вещественной плоскости гомеоморно ленте Мебиуса, мне кажется.

[yigal_s]

хмм... но ведь у ленты мёбиуса есть граница. Или вы предполагаете, что и у множества прямых она есть?

[p-k.livejournal.com]

Имеется в виду открытая лента Мебиуса.

[yigal_s]

да, видимо.

Хотя ж черт его знает, у меня уже как-то получилось, что у этого "многообразия" скорее всего есть граница.

[posic.livejournal.com]

Да, конечно, имеется в виду открытая лента Мебиуса. Многообразие всех прямых на вещественной плоскости диффеоморфно открытой ленте Мебиуса. Края у этого многообразия нет.

[yigal_s]

Спасибо! Пока не дошло, как это так получается, но хотя б знаю ответ, можно пытаться думать дальше в нужном направлении )))

[yigal_s]

Кажется, дошло! :-)

[levyi-botinok.livejournal.com]

Ничего не скажу про топологию (все что соответствует односторонней поверхности — то и будет соответствовать вашему многообразию, полагаю)
Что до сложности с началом координат, так можно же задавать точкой пересечения с одной осью и углом этого пересечения.

[yigal_s]

да почему ж одностороняя? Как вы это разглядели?

> Что до сложности с началом координат, так можно же задавать точкой пересечения с одной осью и углом этого пересечения.

Можно, конечно. Только вопрос не в том, как это задавать, а как это склеится с остальной частью плоскости и что получится в результате.

[a-konst.livejournal.com]

Повороты исходной плоскости на любой угол с любым центром задают движение и нашего многобразия. фиксируем центр поворота и прямую, проходяющую через него. Эта прямая будет локальным центром "базисов" на нашем многообразии.
"Базис" (хотя почему в кавычках? просто базис касательного расслоения) на многообразии - это направления смещения прямых из нашей выделенной. Одно направление - это поворот прямой на малый угол, для определенности, против часовой стрелки, а другое, перпендикулярное направление - это параллельный перенос прямой, для определенности вправо.

Так вот, непрерывная трансформация многобразия движениями R_alpha, где R - поворот с центром в нашей выделенной точке на угол alpha, от 0 до пи, дает нам непрерывную трансформацию нашего базиса в базис с началом в той же точке, но противоположно ориентированный. "противоположно" - в смысле, что одно направление движения "точек" на многобразии переходит в себя же (то, что получилось из поворота исходных прямых), а другое направление, получившееся из параллельного переноса исходных прямых чуть-чуть вправо ,- переходит в строго противоположное, в параллельный перенос исходных прямых чуть-чуть влево.

Надеюсь, понятно описал. Словами такое без картинки трудно.

[yigal_s]

Ну да, т.е. "склеить" вообще не проблема, я "торможу" именно на предмет, что за топология получится в конечном итоге.

[bahamut-juice.livejournal.com]

а что такое многообразие?

[yigal_s]

В данном случае, нечто вроде двумерной поверхности.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B5

[yigal_s]

Вроде решилось.

https://yigal-s.dreamwidth.org/2978099.html?thread=11660595

Получается плоскость с выколотым открытым кругом, т.е. в результате — многообразие с краем. Но немного огорочает, что ответ довольно тривиален.

[a-konst.livejournal.com]

ЕМНИП, это называется многообразиями Грассмана.