yigal_s | (no subject)

что-то я не врубаюсь, принцип наименьшего действия - это какое-то особое свойство физического мира, или же это математическая тавтология?

Иными словами, если бы законы (механики хотя бы) были устроены по-другому, ну хотя бы движение тела подчинялось дифурам иной степени, лагранжиан (зависящий уже от большего количества производных координаты) всё равно можно было бы расписать, или уже нет?

Дополнительная сложность для осознания этого - поскольку реальные решения уравнений движения имеют две степени свободы (скажем, начальная координата и скорость), их можно перевести в форму поиска траектории, соединяющей начальную и конечную точку (снова две степени свободы, две точки). При ином же количестве степеней свободы как-то и задачу надо переформулировать.

Вот я, скажем, расписал вариант 2-го закона Ньютона как скорости, зависящей от силы:
F = m*V

но даже для такого простого случая не могу ни сформулировать принцип наименьшего действия, ни забраковать возможность его применения. Т.е. не похоже, чтоб его вообще можно было сформулировать, поскольку степень свободы у решения такого уравнения одна, и мы даже не можем произвольно задать две точки и потребовать минимизации интеграла некоторой функции между ними.

Flat | Top-Level Comments Only

From:

solomon2.livejournal.com

Второй закон Ньютона - это уравнение Лагранжа для вариационного принципа наименьшего действия (т.е. нечто в вариационном исчислении, подобное условию равенста нулю производной в точке экстремума в дифференциальном исчислении). Разумеется, если бы законы Ньютона не имели места, то и принцип наименьшего действия не работал бы.

yigal_s

* Разумеется, если бы законы Ньютона не имели места, то и принцип наименьшего действия не работал бы.

Вот по этому поводу меня и терзают смутные сомнения.

Скажем, в том, что ты выше указал не хватает одной маленькой детали - указания на конкретный вид лагранжиана, а именно L=mv^2/2-U

только в этом случае ты получишь 2-й закон ньютона при решении вариационной задачи.

Таким образом, я вполне могу надеяться и при каких-то иных законах написать Лагранжиан так, чтобы принцип наименьшего действия сработал. Почему нет?

Лагранжиан специально определен так, чтобы получился закон Ньютона. Сам закон Ньютона - вещь вполне экспериментальная. Т.е. механика Лагранжа - просто переформулировка механики Ньютона. Я не очень понимаю что тебя тут смущает.

Лагранжиан можно специально переопределить, чтобы получились иные законы.

Разумеется, я не подвергаю сомнению верность закона Ньютона в классическом приближении,
я лишь задаюсь вопросом, насколько принцип наименьшего действия является содержательным законом, а насколько - тавтологией.

Например, если бы было известно, что решение любой системы дифуров можно найти как экстремум какого-то интеграла от некоторого лагранжиана, то сам понимаешь, принцип наименьшего действия виделся бы не как закон окружающего мира, а просто как математическая тавтология. Разумеется, тавтология лишь отчасти, поскольку оставался бы вопрос, имеет ли лагранжиан какой-то содержательный смысл.

Содержательный смысл лагранжиана состоит в том, что механическая система действительно эволюционирует так, чтобы минимизировать интерграл от него. Не думаю, что логический термин "тавтология" применим к принципу наименьшего действия. Лагранжев формализм это именно эквивалентная переформулировка ньютоновской механики. И он в такой же степени как и законы Ньютона отражает устройство нашего мира (в отличие от логических тавтологий, ничего об устройстве мира не говорящих).

Отнюдь не любая система дифуров выражает условие экстремума функционала действия (интеграла от некой функции координат и скоростей), а только система уравнений Лагранжа-Эйлера Предположение, что лагранжиан произвольной механической системы действительно можно расписать как функцию (только) координат и скоростей включено в формулировку принципа наименьшего действия (см. первую главу первого тома Ландафшица).

ты не слышишь того, что я говорю.

Ладно, я сформулирую задачу формально:

Охарактеризовать класс физических законов ( в узком смысле, класс дифференциальных уравнений), решения которых могли бы быть найдены как задача поиска экстремума интеграла от некоторой функции, зависящей от локальных характеристик траектории.

Тут надо вдуматься, что подразумевается под "локальными характеристиками траектории". Если ограничиться только координатами и скоростями, то это будет т.н. "простейшая задача вариационного исчисления", решениями которой будут дифф. уравнения Лагранжа-Эйлера. Если функция зависит от производных более высокого порядка, то и соответствующие уравнения будут уравнениями более высокого порядка. В общем случае практически любую (достаточно гладкую) траекторию можно охарактеризовать как кривую, минимизирующую некий функционал, но понятно, что это уже не будет соответствовать нашей физической реальности.

* В общем случае практически любую (достаточно гладкую) траекторию можно охарактеризовать как кривую, минимизирующую некий функционал,

А если так (а так ли это?), то принцип наименьшего действия - математическая тавтология чуть менее чем полностью )))

Отнюдь. Нетривиальным фактом, включенным в формулировку п.н.д., как я уже отметил, является возможность ограничиться для полного описания состояния механической системы координатами и скоростями.

я не считаю, что это можно считать частью принципа наименьшего действия

А, ну тогда конечно ;)