Меня тоже в университете насчет КТП "обнесли" (только в четырех теоргруппах читали), да и балбесом я был в те времена. Позже бывало нужно.
Почему нужно думать про 3N мерное пространство - не понял. Классические системы многих частиц тоже описываются 6N переменных, но пространство подразумевается обычное.
Состояние (функция) - да, общее (объединенное). Ну как бы одна новая суперчастица (или просто молекула). Но пространство - обычное. Не путать с Гильбертовым, нужным для операций с этими функциями (операторами) :).